MECÂNICA GRACELI - ESTATÍSTICA QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [573]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = ${\hat {H}}$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$\psi ^{*}$

//////

A intensidade de cada interação é definida pela sua constante de acoplamento, um parâmetro adimensional que serve para comparar as diferentes interações. No caso particular da interação eletromagnética, a constante de acoplamento é obtida a partir da expressão da energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes divida pelor fator ħc.

$V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$

A constante de acoplamento da interação eletromagnética é também conhecida como a constante de estrutura fina $\alpha \approx 1/137$ , já substituindo os valores das constantes. Na tabela a seguir são apresentadas características específicas de cada interação:[

Teoria quântica de campos escalares

Uma referência geral para esta seção é Ramond, Pierre (2001-12-21). Teoria de campo: uma cartilha moderna. EUA: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3 , cap. 4

O estado de uma corda vibrante pode ser modelado como um ponto em um espaço de Hilbert. A decomposição de uma corda vibrante em suas vibrações em tons distintos é dada pela projeção do ponto sobre os eixos coordenados no espaço.

Na teoria quântica de campos, os campos e todos os observáveis construídos a partir deles são substituídos por operadores quânticos em um espaço de Hilbert. Este espaço de Hilbert é construído em um estado de vácuo, e a dinâmica é governada por um Hamiltoniano quântico, um operador positivo-definido que aniquila o vácuo. Uma construção de uma teoria de campo escalar quântica é detalhada no artigo de quantização canônica, que se baseia em relações de comutação canônica entre os campos. Essencialmente, a infinidade de osciladores clássicos reempacotados no campo escalar como seus modos normais (desacoplados), acima, agora são quantizados da maneira padrão, de modo que o respectivo campo de operador quântico descreve uma infinidade de osciladores harmônicos quânticos atuando em um respectivo espaço Fock.

Em resumo, as variáveis básicas são o campo quântico φ e seu momento canônico π. Ambos os campos com valor de operador são Hermitianos. Ambos os campos com valor de operador são Hermitianos. Nos pontos espaciais x→, y→ e em tempos iguais, suas relações de comutação canônicas são dadas por

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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{\begin{aligned}\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\phi \left({\vec {y}}\right)\right]=\left[\pi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=0,\\\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=i\delta \left({\vec {x}}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}

enquanto o hamiltoniano livre é, similarmente ao acima,

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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H=\int d^{3}x\left[{1 \over 2}\pi ^{2}+{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}\right].

Uma transformada espacial de Fourier leva a campos de espaço de momento

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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{\begin{aligned}{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\phi ({\vec {x}}),\\{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\pi ({\vec {x}})\end{aligned}}

que resolvem para operadores de aniquilação e criação

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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{\begin{aligned}a({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})+i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\\a^{\dagger }({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})-i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\end{aligned}}

onde $E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$ .

Esses operadores satisfazem as relações de comutação

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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{\begin{aligned}\left[a({\vec {k}}_{1}),a({\vec {k}}_{2})\right]=\left[a^{\dagger }({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=0,\\\left[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=(2\pi )^{3}2E\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}).\end{aligned}}

O estado $|0\rangle$ aniquilado por todos os operadores a é identificado como vácuo nu, e uma partícula com momento k→ é criada aplicando $a^{\dagger }({\vec {k}})$ ao vácuo.

Aplicando todas as combinações possíveis de operadores de criação ao vácuo constrói o espaço de Hilbert relevante: Esta construção é chamada de espaço Fock. O vácuo é aniquilado pelo Hamiltoniano

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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H=\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{\frac {1}{2}}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec {k}}),

onde a energia do ponto zero foi removida por ordenação de Wick. (Veja quantização canônica.)

Estes são cinco dos infinitos caminhos disponíveis para uma partícula se mover do ponto A no instante t para o ponto B no instante t’(>t). Caminhos que se cruzam ou retrocedem no tempo não são permitidos.

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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As interações podem ser incluídas adicionando um Hamiltoniano de interação. Para a teoria φ⁴, isso corresponde a adicionar um termo ordenado Wick g:φ⁴:/4! ao hamiltoniano, e integrando sobre x. As amplitudes de espalhamento podem ser calculadas a partir deste Hamiltoniano na representação de Dirac de interação. Estes são construídos na teoria da perturbação por meio da série Dyson, que fornece os produtos ordenados no tempo, ou funções de Green de n-partículas $\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle$ conforme descrito no artigo da série de Dyson. As funções de Green também podem ser obtidas a partir de uma função geradora que é construída como solução da equação de Schwinger-Dyson.

Integral do caminho de Feynman

A expansão do diagrama de Feynman pode ser obtida também a partir da formulação integral de caminho de Feynman.^[8] Os valores esperados do vácuo ordenados no tempo de polinômios em $φ$ , conhecidas como funções de Green de partículas n, são construídas integrando sobre todos os campos possíveis, normalizado pelo valor esperado de vácuo sem campos externos,

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.

Todas essas funções de Green podem ser obtidas expandindo a exponencial em J(x)φ(x) na função geradora

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .

Uma rotação de Wick pode ser aplicada para tornar o tempo imaginário. Alterar a assinatura para (++++) transforma a integral de Feynman em uma função de partição da mecânica estatística no espaço euclidiano,

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.

Normalmente, isso é aplicado ao espalhamento de partículas com momentos fixos, nesse caso, uma transformada de Fourier é útil, dando em vez disso

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int {d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{g \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.

onde $\delta (x)$ é a função delta de Dirac.

O truque padrão para avaliar essa integral funcional é escrevê-la como um produto de fatores exponenciais, esquematicamente,

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-g/4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].

Os dois segundos fatores exponenciais podem ser expandidos como séries de potências, e a combinatória dessa expansão pode ser representada graficamente através de diagramas de Feynman da interação quártica.

A integral com g = 0 pode ser tratada como um produto de infinitas integrais gaussianas elementares: o resultado pode ser expresso como uma soma de diagramas de Feynman, calculado usando as seguintes regras de Feynman:

Cada campo ~φ(p) na função de Green Euclidiano de n pontos a função de Green é representada por uma linha externa (meia-aresta) no gráfico, e associada ao momento p.
Cada vértice é representado por um fator −g.
Em uma dada ordem g^k, todos os diagramas com n linhas externas e $k$ vértices são construídos de modo que o momento que flui em cada vértice seja zero. Cada linha interna é representada por um propagador 1/(q² + m²), onde $q$ é o momento que flui através dessa linha.
Quaisquer momentos irrestritos são integrados sobre todos os valores.
O resultado é dividido por um fator de simetria, que é o número de maneiras pelas quais as linhas e os vértices do grafo podem ser rearranjados sem alterar sua conectividade.
Não inclua gráficos contendo "bolhas de vácuo", subgráficos conectados sem linhas externas.

A última regra leva em conta o efeito da divisão por ~Z[0]. As regras de Feynman do espaço Minkowski são semelhantes, exceto que cada vértice é representado por −ig, enquanto cada linha interna é representada por um propagador i/(q²−m²+iε), onde o termo $ε$ representa a pequena rotação de Wick necessária para fazer convergir a integral gaussiana do espaço de Minkowski.

Renormalização

Função

β

no plano real

As integrais sobre momentos irrestritos, chamadas "integrais de loop", nos gráficos de Feynman normalmente divergem. Isso normalmente é tratado pela renormalização, que é um procedimento de adição de contra-termos divergentes ao Lagrangeano de tal forma que os diagramas construídos a partir do Lagrangeano original e dos contra-termos sejam finitos.^[9] Uma escala de renormalização deve ser introduzida no processo, e a constante de acoplamento e a massa tornam-se dependentes dela.

A dependência de uma constante de acoplamento $g$ na escala $λ$ é codificado por uma função Beta, $β (g)$ ,definido por

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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\beta (g)=\lambda \,{\frac {\partial g}{\partial \lambda }}~.

Essa dependência da escala de energia é conhecida como "a execução do parâmetro de acoplamento", e a teoria dessa dependência sistemática de escala na teoria quântica de campos é descrita pelo grupo de renormalização.

As funções beta são geralmente calculadas em um esquema de aproximação, mais comumente teoria de perturbação, onde se assume que a constante de acoplamento é pequena. Pode-se então fazer uma expansão nas potências dos parâmetros de acoplamento e truncar os termos de ordem superior (também conhecidos como contribuições de loop mais altas, devido ao número de loops nos gráficos de Feynman correspondentes).

A função $β$ em um loop (a primeira contribuição perturbativa) para a teoria $φ$ ⁴ é

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$

$\psi ^{*}$

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\beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.

O fato de o sinal na frente do termo de ordem mais baixa ser positivo sugere que a constante de acoplamento aumenta com a energia. Se esse comportamento persistisse em grandes acoplamentos, isso indicaria a presença de um polo de Landau^[10] em energia finita, decorrente da trivialidade quântica.^[11] No entanto, a pergunta só pode ser respondida de forma não perturbadora, uma vez que envolve forte acoplamento.

Uma teoria quântica de campos é considerada trivial quando o acoplamento renormalizado, calculado através de sua função beta, vai a zero quando o corte ultravioleta é removido. Consequentemente, o propagador se torna o de uma partícula livre e o campo não está mais interagindo.

Para uma interação $φ$ ⁴, Michael Aizenman provou que a teoria é de fato trivial, para dimensão espaço-tempo $D$ ≥ 5.^[12]

Para $D$ = 4, a trivialidade ainda precisa ser comprovada com rigor, mas os cálculos de rede forneceram fortes evidências para isso. Este fato é importante, pois a trivialidade quântica pode ser usada para limitar ou até mesmo prever parâmetros como a massa do bóson de Higgs. Isso também pode levar a uma massa de Higgs previsível em cenários de segurança assintóticos.^[13]^[14]

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